真空喷管运载火箭
冯·卡门最小波阻鼻锥 · 按真实膨胀比 ε≈80 加长的真空钟形喷管 · 液氧/液氢分区贮箱 · 齐奥尔科夫斯基 Δv 预算 · 正交工程三视图。全部为已确立的航天工程。
冯·卡门鼻锥（整流罩）
在给定长径下波阻（超声速激波阻力）最小的经典整流罩外形。由西尔斯–哈克体家族推导而来。
r(x)=(R/√π)·√(θ−½sin2θ), θ=arccos(1−2x/L)
液氧 LOX 贮箱
氧化剂。密度大（1141 kg/m³），舱体相对短。冷蓝色标注，顶部有增压气枕（ullage）。
ρ_LOX = 1141 kg/m³ · 质量占比 6/7
液氢 LH₂ 贮箱
燃料。密度极低（71 kg/m³），同样质量下体积极大，故舱体明显更长更粗。
ρ_LH₂ = 71 kg/m³ · V∝m/ρ ⇒ V_H:V_O≈2.68:1
de Laval → 真空钟形喷管
先收缩到喉部（M=1），再在真空里大幅膨胀（ε≈80）。喷管越长、越张开，越能把燃气热能转成推力。
A/A*=(1/M)[(2/(γ+1))(1+(γ−1)/2·M²)]^((γ+1)/2(γ−1)), γ=1.20
Δv 预算 · 齐奥尔科夫斯基火箭方程
Δv = Isp·g₀·ln(m₀/m_f)，g₀ = 9.80665 m/s²。曲线随 Isp 滑块整体升降；竖线标出当前质量比。注意曲线是对数增长——质量比越往后，每多榨一点 Δv 都要付出越来越大的质量代价。
为什么氢舱比氧舱大？
混合比 O/F≈6 表示每烧 1 kg 氢要配 6 kg 氧。但氧的密度是氢的 16 倍。把质量换成体积（V∝m/ρ）：
液氧 LOX 体积1.00 ×
液氢 LH₂ 体积2.68 ×
计算：V_H:V_O = (m_H/ρ_H):(m_O/ρ_O) = (1/71):(6/1141) = 0.01408:0.00526 ≈ 2.68:1。即便氢的质量只有氧的 1/6，它占的体积仍约是氧舱的 2.7 倍。这就是为什么 LH₂ 舱在几何上明显更长更粗。
说人话：这枚火箭为什么长这样
① 鼻锥为什么是这条曲线？——不是随便画的
火箭穿过大气层时以超声速飞行，头部会拍出一道激波，激波带来「波阻」。在给定长度和底部半径的前提下，冯·卡门外形是让波阻数学上最小的那条曲线（它不是尖锥、也不是半球，而是介于两者之间、略带丰满的钝头）。公式里的 θ=arccos(1−2x/L) 只是把「从头到尾走了多远」换算成角度，再代进 r(x) 就得到每一处应有多粗。直觉：太尖会浪费长度、太钝会正面撞空气，这条曲线是二者的最优折中。
② 真空喷管为什么那么长、那么张开？
喷管的工作是把燃烧室里又热又高压的气体，通过「先收缩到喉部、再扩张」的形状（de Laval 喷管）加速成超声速喷流，喷得越快、推力越大。关键在于：气体能膨胀到多大，取决于外界压力。在海平面，外面有 1 个大气压压着，喷管稍微一张开、内部压力降到和外界相等就得打住（否则会「过膨胀」反而损失推力）。但在真空里，外界压力≈0，燃气几乎可以无限膨胀——所以真空发动机（RL10、J-2、Raptor Vacuum 这一类）配上超大喇叭口，膨胀比 ε=A_e/A* 高达 ~80，出口半径是喉部的近 9 倍。膨胀越充分，越多的热能被转成定向的动能（推力），比冲就越高（这里 ~452 秒）。代价是喷管又长又重、且只能在高空/真空点火。
③ 氢舱为什么比氧舱大？
烧氢需要氧来助燃，最优混合比大约是「6 份氧配 1 份氢」（按质量）。乍看氧多、该氧舱大才对。但液氢的密度低到离谱（71 kg/m³，比泡沫还轻），液氧则有 1141 kg/m³。把质量除以密度换成体积，反而是氢占的空间大得多——约 2.7 倍。所以真实的氢氧火箭（土星五号 S-II、Delta IV、SLS 芯级）总是氢舱又长又胖、氧舱短粗。
④ 火箭方程的直觉：为什么「上天这么贵」
齐奥尔科夫斯基方程 Δv = Isp·g₀·ln(m₀/m_f) 里有个 ln（自然对数）。它意味着：想要的速度增量 Δv 和「起飞质量 / 空重质量」的比值是指数关系。你要多一点 Δv，质量比就得成倍地涨；而质量比里每一点点结构、每一颗螺丝，都要靠更多燃料去推。这就是「火箭方程的暴政」——为什么去 LEO（Δv≈9400）已经很难，去 GTO、逃逸地球则要靠多级火箭、丢掉空箱来「作弊」降低 m_f。把上面的滑块拉一拉就能直观感到这条曲线越往后越平、越难榨。
面积–马赫等熵关系（反解 M_e）
给定 ε=80、γ=1.20，对超声速支数值求根，得 M_e≈4.73。出口半径按 √ε≈8.94 倍喉半径放大。
ε = (1/M_e)[(2/(γ+1))(1+(γ−1)/2·M_e²)]^((γ+1)/(2(γ−1)))
齐奥尔科夫斯基火箭方程
给定比冲与质量比，算出能获得的速度增量 Δv。是评估火箭能到哪的核心指标。
Δv = Isp·g₀·ln(m₀/m_f), g₀=9.80665
推进剂体积（密度换算）
由质量与密度反推每个舱段应有多大，几何自洽。
V = m/ρ · O/F=6 · ρ_O=1141, ρ_H=71 kg/m³
诚实标注 已确立
本模型的每一部分都是成熟、已飞行验证的航天工程：冯·卡门最小波阻鼻锥、de Laval/钟形真空喷管与面积–马赫等熵关系、氢氧低温推进与混合比、齐奥尔科夫斯基火箭方程，均为标准的火箭理论与工程实践。页面中的数值（ε=80、M_e≈4.73、Isp≈452 s、O/F≈6、体积比≈2.68）来自这些公式的直接计算，量级与 RL10 / J-2 / Raptor Vacuum 一类真空上面级发动机一致；三视图尺寸为「示意单位 m」，取自与真实氢氧上面级/芯级同量级的合理设定（全长约 50 m、最大直径约 5 m、喷管出口约 2.4 m），用于说明比例而非某一具体型号的图纸。无任何推测成分。